피보나치수열
갓 태어난 암수 한 쌍의 토끼가 있다. 이 토끼는 태어나서 1개월만 지나면 성장해서 어미가 되고, 그 후 매월 암수 한 쌍의 새끼를 낳는다.
이 새끼 토끼도 2개월이 되면 마찬가지로 매월 암수 한 쌍의 새끼를 낳는다고 한다. 이와 같이 하면 30개월 후 토끼는 몇 쌍이 되는가?
이 문제는 이탈리아의 수학자 피보나치의 저서 ‘산반서(주산을 위한 책)’에 나오는 문제입니다.
이 토끼의 쌍의 수를 매월 계산하여 보면 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89...의 수열을 얻게 됩니다. 이 수열처럼 앞의 두 항의 합이 다음 항을 만들 때(1, 1+1=2, 1+2=3, 2+3=5, 3+5=8, 5+8=13...) 이 수열을 '피보나치수열'이라고 합니다.
피보나치 수열 그 자체도 흥미롭지만 이 수열은 식물의 구조나 번식의 문제와 같은 자연계의 일반법칙에 많이 응용됩니다.
디자인과 피보나치수열과 황금비
피보나치 수열은 신비롭게도 가장 아름다운 기하학적 비율인 황금비를 만들어냅니다.
피보나치 수열에서 앞뒤 숫자의 비율을 2/1, 3/2, 5/3, 8/5, 13/8, 21/13, 34/21, 55/34, 89/55… 식으로… 무한대로 가면 1.618…에 수렴합니다. 이러한 비율을 가진 것들은 안정감이 있고 미적으로도 아름다워 보인다고 합니다. 이러한 1 대 1.618의 비를 '황금비'라 부릅니다.
황금비는 피라미드, 파르테논 신전, 밀로의 비너스, 다빈치 모나리자, 사그라다 파밀리아, 미켈란젤로의 작품 등 고대의 미술작품이나 건축물 등에서 시작해 주변에서도 쉽게 찾을 수 있습니다. 신용카드나 주민등록증, 명함과 TV모니터, 휴대전화 등 가로와 세로 두 변의 비가 황금비에 가깝습니다. 대부분의 사람은 물건을 선택할 때 무의식 중에 황금비의 치수를 선호한다고 합니다.
자연과 피보나치수열
1900년대 식물학자인 처치(A. H. Church)는 해바라기꽃의 씨의 형태에서 나선을 이루는 것을 세었더니 그것이 피보나치 수라는 놀라운 발견을 합니다.
해바라기 씨앗이 촘촘히 박혀 있는 꽃머리를 유심히 보면 최소 공간에 최대의 씨앗을 배치하기 위한 ‘최적의 수학적 해법’으로 꽃이 피보나치수열을 선택한다는 것을 알 수 있습니다. 씨앗은 꽃머리에서 왼쪽과 오른쪽 두 개의 방향으로 엇갈리게 나선 모양으로 자리 잡습니다. 해바라기 꽃머리에는 55개와 89개의 나선이 있고 데이지 꽃머리에도 서로 다른 34개와 55개의 나선이 있습니다.
이후 식물학자들은 자연의 이곳저곳에서 피보나치 수를 찾았습니다.
주변에 있는 대부분의 꽃의 꽃잎은 3장, 5장, 8장, 13장…으로 되어 있습니다. 스파티필름의 꽃잎은 1장, 백합과 붓꽃은 꽃잎이 3장, 채송화꽃, 패랭이꽃, 동백꽃, 야생장미는 5장, 모란, 코스모스는 8장, 금불초와 금잔화는 13장입니다. 과꽃과 치커리는 21장, 질경이와 데이지는 34장, 쑥부쟁이는 종류에 따라 55장과 89장입니다. 피보나치 수열입니다.
피보나치 수열이 가장 잘 나타나는 것은 식물의 잎차례입니다. 참나무, 벚나무, 사과나무는 줄기를 2번 회전하는 동안 잎이 5개이고, 포플러나무, 장미, 배나무, 버드나무는 줄기를 3번 회전하는 동안 잎이 8개, 갯버들과 아몬드는 줄기를 5번 회전하는 동안 잎이 13개입니다. 이 역시 피보나치수열입니다.
전체 식물의 90%가 피보나치수열의 잎차례를 따르고 있습니다. 잎차례가 피보나치수열을 따르는 것은 이것이 잎이 바로 위의 잎에 가리지 않고 햇빛을 최대한 받을 수 있는 수학적 해법이기 때문입니다.
예전에는 식물의 DNA가 피보나치 수열을 만들어낸다고 생각했지만, 요즘에는 식물의 씨앗이나 잎이 먼저 나온 씨나 잎을 비집고 새로 자라면서 환경에 적응해 최적의 성장 방법을 찾아가는 과정에서 자연스럽게 피보나치 수열이 형성된다고 생각하는 학자들이 많아졌습니다.
피보나치수열과 이 수열이 만들어내는 황금비는 식물뿐 아니라 고둥이나 소라의 나선 구조에도 나타나고, 태풍과 은하수의 형태, 초식동물의 뿔, 바다의 파도, 우주 어디에나 있습니다.
갈릴레이 갈릴레오의 “자연은 신이 쓴 수학책이다”라는 말에 어쩐지 수긍하게 됩니다.